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为了让你在游戏里猜中大奖,数学家整出了硬核玩法

作者: 来源: 时间:2020-08-16

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为了让你在游戏里猜中大奖,数学家整出了硬核玩法

中科院物理所 中科院物理所 2020-05-26


真阅读下面的文章,并思考文末互动提出的问题,严格按照 互动:你的答案 格式在评论区留言,就有机会获得由中国华侨出版社提供的优质科普书籍《用科学拯救地球:麦克斯阻止世界末日》一本。

蒙提霍尔问题(又称“三门问题”)是数学领域的最著名的几个问题之一,它起源于蒙提霍尔主持的一个游戏节目。


游戏的参赛者眼前会有三扇关闭的门,其中一扇门背后是一个价值不菲的奖品,比如一辆小汽车;而另外两扇门背后则是一些价格不高的奖品,像一头山羊之类的。如果参赛者选择了正确的门,就可以赢得大奖,反之,他会一无所有。

 

参赛者需要做出选择,选择其中一扇门,并且告知主持人。


此时被选择的门仍然是关着的,主持人会打开另外一扇门,这时候门后面会出现一头山羊。


接着参赛者就会收到两个选项:依旧选择原来的门,还是换成剩下那扇门。


最终他打开的那扇门将会揭晓,是赢得大奖小汽车,还是仅仅看到一头山羊。


是小汽车还是山羊?

 

那么问题来了:参赛者到底要不要改变他原来的选择呢?

 

目前已被接受的答案是“要”。事实上,改变原来的选择,换一扇门,你赢得大奖的机会会翻倍。这是很令人惊讶的结论,也是这个问题如此出名的原因。这个观点在电影《决胜21点》里被提到过

 

然而事实上,被广泛接受的答案也并不总是正确的,这一点也被视为思考不严密的一个例子。是否要改变原来的选择并更换一扇门是取决于主持人(某种程度上也可以说是取决于参赛者自己 ),取决于他掌握了哪些信息,不知道哪些信息

 

首先我们设想一下,主持人知道在哪一扇门背后是小汽车。而当你作为参赛者选完一扇门后,主持人总会选择打开一扇背后是山羊的门——这个就是问题关键所在(这确实也是个合理的假设:要是主持人选择打开那扇背后是小汽车的门,游戏不就结束了嘛)。

 

这个时候,要是你决定坚持原来的选择,如果你最初的猜测是正确的,你就赢得了这个大奖。而这发生的概率是1/3,即使主持人打开了背后有山羊的门也改变不了这一点:无论你最初的选择是什么,主持人团队都会照这个做出反应,确保他们打开的是一扇背后有山羊的门。而要是你决定放弃原来的选择,换一扇门,如果你最初的猜测是错误的,那你也赢得了大奖,这发生的概率是 2/3。同样的,这个概率也不会受主持人“开门见羊”的操作影响。唯一有变化的,是现在赢大奖的概率只和剩下的第三扇门——那扇你一开始没有选、主持人也没有开的门有关。

 

源于:wiki


这个貌似合理地证实了对于蒙提霍尔问题的那个已被接受的答案:换一扇门是值得的,因为那样的话你赢得大奖的几率更高了。

 

但是如果主持人自己也不知道汽车在哪扇门背后,他只能在你做出选择之后随机地打开一扇门,情况又会怎样呢?“主持人打开一扇门,门后有一头山羊”这个事实会给出关于你自己那扇门的新的信息。一扇(背后有山羊)的门已经被排除掉了,那么你的门和剩下的门都都更可能是藏有最终大奖的那扇,概率都是 1/2,而这个时候不管你换还是不换,都并没有什么区别。

 

所以,当你遇到这种类似于蒙提霍尔问题的情况时,不要先入为主地认为“接受改变”是最好的选择。因为它隐含了一些假设:每个人掌握了多少信息。


我们可以使用贝叶斯理论将上面的推演过程解释得更清楚一些。贝叶斯理论能够告诉你如何求解在事件B发生的前提下事件A发生的概率。在我们这个例子中,事件A代表“你选择的门背后是小汽车”,事件B则代表“主持人打开了一扇背后是山羊的门”。

 

贝叶斯理论告诉我们,B 发生的前提下发生A的概率(我们记作P(A|B))满足这样一个等式:


既然在我们这个例子里面,P(A)代表了“你选到了后面是小汽车的那扇门”的概率,那么P(A)=1/3。如果主持人知道汽车在哪扇门后面,而且他总是去打开一扇后面是山羊的门,那么P(B)=1。

 

那P(B|A)等于多少呢?这个是“你选中了后面是小汽车的门”的前提下,“主持人打开了一扇背后是山羊的门”的概率。因为不管你选了啥,主持人总是打开一扇背后是山羊的门,所以P(B|A)也等于1。这就意味着:

而,“小汽车在你未选且主持人没打开的门(即最后一扇门)后面”的概率,是1-1/3=2/3。

 

而如果主持人不知道小汽车在哪扇门后面,他完全随机地开一扇门,这个时候P(B),“主持人打开一扇后面是山羊的门”的概率,是等于2/3的。因为主持人不会和你选同一扇门,所以P(B|A),“你选中了后面是小汽车的门”的前提下,“主持人打开了一扇背后是山羊的门”的概率,是等于1的:既然你选了车,主持人选的就应该是山羊。按照我们这些推导,贝叶斯理论会告诉我们:

这个问题还有另一种形式。在这种情况下,吝啬鬼主持人知道车在哪扇门后面,他决定要下个套来糊弄你。主持人倾向于认为你听说过蒙提霍尔问题的常规答案。要是你选择了背后是小汽车的门(概率是1/3),主持人就会打开一扇后面是山羊的门,以期让你改变选择。你肯定会改变选择(因为你听说过蒙提霍尔问题的常规回答,换门赢大奖的概率更高),这个时候你百分之百会抱着山羊哭泣。

 

如果你一开始选择了后面是山羊的门(概率是2/3),主持人会让你在剩下两扇门中选择一扇排除在外。在这个过程中主持人没有开过门。在这之后,主持人会让你选择,是坚持原来的门,还是换成剩下那一扇。在这种情况下,你已经排除的哪扇门背后是小汽车的概率是1/2,所以无论你做何选择,最终抽到山羊的概率都是1/2。

 

综合下来,按这种规则,你抽到山羊的概率就成了1/3×1+2/3×1/2=2/3。这说明主持人赢得游戏的几率更大!


作者:Chris Budd

翻译:Dannis

审校:Nuor


原文链接:

https://plus.maths.org/content/myths-maths-monty-hall-problem

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【互动问题:你在玩游戏时有用到哪些数学或物理方法?


请大家严格按照  互动:问题答案  的格式在评论区留言参与互动,格式不符合要求者无效。


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